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椭圆曲线密码系统——椭圆曲线

1 椭圆曲线

在这里，椭圆曲线简化为用 y2 = x3 + ax + b表示的点的集合。将其离散化后，得到 y2 mod p= (x3 + ax + b) mod p 。

2、群

数学中的“群”是一个由我们定义了一种二元运算的集合，二元运算我们称之为“加法”，并用符号“+”来表示。为了让一个集合G成为群，必须定义加法运算并使之具有以下四个特性：

1. 封闭性：如果a和b是集合G中的元素，那么（a + b)也是集合G中的元素。
2. 结合律：(a + b) + c = a + (b + c);
3. 存在单位元0，使得a + 0 = 0 + a =a;
4. 每个元素都有逆元，即：对于任意a，存在b，使得a + b = 0.
   如果我们增加第5个条件：
5. 交换律： a + b = b + a
   那么，称这个群为阿贝尔（abelian)群。
   配上通常概念的加法时，整数的集合Z就是一个群（同时还是个阿贝尔群）。而自然数的集合（N）就不是群，因为它不满足第4个特性。

3、椭圆群定理

群中的元素都是位于椭圆曲线上的点 单位元为无穷远点O; 点P的逆元是其关于x-轴的对称点; 加法，满足以下规则: 对于3个处在同一直线上的非零点 P, Q 和 R, 它们的和 P + Q + R = 0.这里要求的只是三个点同线，与点的次序无关。

4、几何加法

得益于我们使用的是一个阿贝尔群，我们可以把 P + Q + R = 0 写成P + Q = –R。方程的这一形式，让我们可以推导出计算两点P和Q之和的几何方法：画一条过P和Q点的直线，这条直线与曲线相交得到第3个点R（这一事实意味着P、Q、R必然共线）。如果我们获取了该点的逆元-R，那么我们就得到了P + Q的结果。 存在以下三种特殊情况： （1）P=0||Q=0 由于0为单位元，我们有P+0=P，Q+0=Q。 （2）P=-Q 存在P+Q=0。 （3）P=Q 此时做点Q上对椭圆曲线的切线，与椭圆曲线另一个交点为点R

5、代数加法

这里只考虑两个非零，非对称的点P(xp,yp)，Q(xq,yq) 这两点斜率为k=(yp-yq)/(xp-xq) 设其与椭圆曲线交于第三点R(xr,yr),存在yr-yq=m(xr-xq) 通过该式与椭圆曲线联立，计算得到xr=m2-xq-xp ; yr=yp+m(xr-xp)

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